📌 📄 内容摘要:
Caelinya 在 深夜问个数学题，蹲大佬 中发帖
晚上想到一个几何优化问题：一个边长为1的单位正方体，能容纳的最大半圆半径是多少？
首先，我想到了两个显而易见的解：
一是将半圆直接置于某个面上，此时半径为 R = 1/2。
二是将直径置于某个面（比如底面）的对角线上，半圆立起来，此时半径为 R = \sqrt{2}/2 \approx 0.707。
然而，直觉告诉我 \sqrt{2}/2 可能并非最终答案。我在想，更优的解或许在一个倾斜构型（正方体某个特定的平面截面）之中。
基于这个想法，我选取了正方体内一个尺寸为 1 \times \sqrt{2} 的矩形截面（即对角面）。如果猜想成立，原问题就转化为在这样一个矩形内寻找最大半圆。
对于这个二维子问题，我推导出了一个“楔入”角落的构型解：其圆弧与矩形的一条长边和一条短边相切，直径的两个端点则分别落在另外两条边上。
为了直观展示，我制作了一个 GeoGebra演示：
截图如...
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